高校数学ⅠＡ　弱点補強　「円に内接する四角形」の回答

2011年11月 4日 15:28 | sasa | 3 高校数学ⅠＡ　弱点補強| コメント（0） |

この弱点補強では
偏差値７０アップを目指す高校生の学習において、引っかかりやすい問題（奇問や難問ではなく）を出題しています。

高校数学ⅠA（昔の高校数学Ⅰ)を履修済みのかた向けのものです。

週題（今週の出題）は以下でした。
四角形ABCDが半径65/8 の円に内接している。この四角形の周の長さが44で、辺BCと辺CDの長さがいずれも13であるとき、2辺ABとDAの長さを求めよ。
題意より　図や式にすると左図のようになる。

ここでＢＣ＝１３、ＣＤ＝１３を
AB + BC + CD + DA = 44に代入すると

AB + 13 +13 + DA = 44 ・・・①

正弦定理と余弦定理は
　a / sinA = 2R
  aの２乗 = bの２乗 + cの２乗 -2bc cosA

右図を参考に
内接する四角形なので、対角との合計は180度（π）
AをA度とすると、対角のCは180-AとなるそしてBDに対角線を引いて２つの三角形で考えると

正弦定理を使って
BD/sinA = 2 X 65/8
BD = 65/4 X sinA ・・・②

AB= ｘ　DA = y とおき、余弦定理より三角形ABDにおいて
BDの２乗 = ｘの２乗 + yの２乗 -2ｘy cosA
                                      ・・・③
三角形BCDにおいて
BDの２乗 = 13の２乗 + 13の２乗 -　2X13X13 cos(180-A)
    　　　　 =2X13の２乗 +2X13の２乗cosA・・・④